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合比定理公式推导

合比定理公式是初中数学中的重要定理之一,它可以帮助我们求解一些比例问题。下面我们来详细地推导一下这个公式。

假设有两个比例 $a:b$ 和 $c:d$,其中 $b$ 和 $c$ 相等,我们需要求出这两个比例的和比它们的差的值。我们可以按照以下步骤进行推导:

首先,我们将两个比例的分子分别相加,得到 $a+c$ 和 $b+b$。

接着,我们将两个比例的分母分别相加,得到 $b+d$ 和 $b+d$。

由于 $b$ 和 $c$ 相等,所以 $b+b$ 可以简化为 $2b$,$b+d$ 也可以简化为 $2b$。

因此,原来的两个比例可以表示为 $\dfrac$ 和 $\dfrac$。

接下来,我们将这两个比例相加并化简:

$$ \dfrac+\dfrac=\dfrac=\dfrac $$

最后,我们将这个式子化简一下,得到最终的合比定理公式:

$$ \dfrac:\dfrac=(2c+a-d):(2b) $$

这个公式可以用来求解一些比例问题,例如:若 $2:3$ 和 $5:7$ 两个比例中,前者的分母和后者的分子相等,求它们的和与差的比值。我们可以先将两个比例化成 $\dfrac$ 和 $\dfrac$,然后代入公式中,得到:

$$ \dfrac:\dfrac=(2\times5+2-7):(2\times3)=\dfrac $$

因此,它们的和与差的比值为 $\dfrac$。

总之,合比定理公式是一个非常有用的工具,它可以帮助我们更快更准确地求解比例问题。

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